【三思言论集】→【三思藏书架】→《你知道吗》            〖本文由碧海听潮声扫校〗

7 什么是素数?数学家为什么对它们感兴趣?

  素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积
以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如,15=
3×5,所以15不是素数;又如,12=6×2=4×3,
所以12也不是素数。另一方面,13除了等于13×1以
外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个
素数。
  有的数,如果单凭印象去捉摸,是无法确定它到底是不
是素数的。有些数则可以马上说出它不是素数。一个数,不
管它有多大,只要它的个位数是2、4、5、6、8或0,
就不可能是素数。此外,一个数的各位数字之和要是可以被
3整除的话,它也不可能是素数。但如果它的个位数是1、
3、7或9,而且它的各位数字之和不能被3整除,那么,
它就可能是素数(但也可能不是素数)。没有任何现成的公
式可以告诉你一个数到底是不是素数。你只能试试看能不能
将这个数表示为两个比它小的数的乘积。
  找素数的一种方法是从2开始用“是则留下,不是则去
掉”的方法把所有的数列出来(一直列到你不想再往下列为
止,比方说,一直列到10000)。第一个数是2,它是
一个素数,所以应当把它留下来,然后继续往下数,每隔一
个数删去一个数,这样就能把所有能被2整除、因而不是素
数的数都去掉。在留下的最小的数当中,排在2后面的是3,
这是第二个素数,因此应该把它留下,然后从它开始往后数,
每隔两个数删去一个,这样就能把所有能被3整除的数全都
去掉。下一个未去掉的数是5,然后往后每隔4个数删去一
个,以除去所有能被5整除的数。再下一个数是7,往后每
隔6个数删去一个;再下一个数是11,往后每隔10个数
删一个;再下一个是13,往后每隔12个数删一个。……
就这样依法做下去。
  你也许会认为,照这样删下去,随着删去的数越来越多,
最后将会出现这样的情况;某一个数后面的数会统统被删去
因此在某一个最大的素数后面,再也不会有素数了。但是实
际上,这样的情况是不会出现的。不管你取的数是多大,百
万也好,万万也好,总还会有没有被删去的、比它大的素数。
  事实上,早在公元前300年,希腊数学家欧几里得就
已证明过,不论你取的数是多大,肯定还会有比它大的素数,
假设你取出前6个素数,并把它们乘在一起:
2×3×5×7×11×13=30030,然后再加上1,
得30031。这个数不能被2、3、5、7、11、13
整除,因为除的结果,每次都会余1。如果30031除了
自己以外不能被任何数整除,它就是素数。如果能被其它数
整除,那么30031所分解成的几个数,一定都大于13。
事实上,30031=59×509。
  对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数,都可以这
样做。如果算出了它们的乘积后再加上1,那么,所得的数
或者是一个素数,或者是比所列出的素数还要大的几个素数
的乘积。不论所取的数有多大,总有比它大的素数,因此,
素数的数目是无限的。
  随着数的增大,我们会一次又一次地遇到两个都是素数
的相邻奇数对,如5,7;11,13;17,19;29,
31;41,43;等等。就数学家所能及的数来说,他们
总是能找到这样的素数对。这样的素数对到底是不是有无限
个呢?谁也不知道。数学家认为是无限的,但他们从来没能
证明它。这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因。素数为
数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的
问题,他们目前还没能对付这个挑战哩。
  这个问题到底有什么用处呢?它除了似乎可以增添一些
趣味以外,什么用处也没有。

碧声注:一点用处也没有吗?……听说在密码方面很有用哩。

阿西莫夫《你知道吗?--现代科学中的一百个问题》
科学普及出版社   1984年
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