第二部　误闯普林斯顿

跟数学家抬杠

　　在普林斯顿研究院，物理系和数学系共用一间休闲室。
每天下午4点钟，我们都在那里喝茶。这一方面是模仿英
国学校的作风，另一方面也是放松情绪的好方法。大家会
坐下来下下棋，或者讨论些什么理论。在那些日子里，拓
扑学是很热门的话题。
　　我还记得有个家伙坐在沙发上努力思索，另一个则站
在他面前说：“所以，这个这个为真。”
　　“为什么？”坐在沙发上的人问。
　　“这太简单！太简单了！”站着的人说，接着滔滔不
绝地发表了一连串逻辑推论，“首先你假设这个和这个，
然后我们用克科夫理论的这个和那个；接下来还有瓦芬斯
托华定理，我们再代入这个，组成那个。现在你把向量放
在这里，再如此这般……”坐在沙发上的家伙勉力挣扎要
消化这许多东西，而站着的人则一口气又快又急地讲了15
分钟！等他讲完之后，坐在沙发上的家伙说：“是的，是
的！这真的很简单。”
　　我们这些念物理的人全都笑歪了，搞不懂这两个人的
逻辑。最后我们一致认为，“简单”等于“已经证实”。
因此我们跟这些数学家开玩笑说：“我们发现了个新定理
——数学家只懂得证明那些很简单的定理，因为每个已被
证明的定理都是很简单的。”
　　那些数学家不怎么喜欢我们提出的定理，我就再跟他
们开个玩笑。我说世上永远不会有令人意外的事件——正
因为数学家只去证明很简单的事物。


找数学家麻烦

　　对数学家来说，拓扑学可不是那么简单的学问，其中有
一大堆千奇百怪的可能性，完全“反直觉”之道而行。于是
我又想到一个主意了。我向他们挑战：“我跟你们打赌，随
便你提出一个定理——只要你用我听得懂的方式告诉我，它
假设些什么、定理是什么等等——我立刻可以告诉你，它是
对的还是错的！”
　　然后会出现以下的情况：他们告诉我说，“假设你手上
有个橘子。那么，如果你把它切成Ｎ片，Ｎ并非无限大的数。
现在你再把这些碎片拼起来，结果它跟太阳一样大。这个说
法对还是错？”
　　“一个洞也没有？”
　　“半个洞也没有。”
　　“不可能的！没这种事！”
　　“哈！我们逮到他了！大家过来看呀！这是某某的‘不
可量测量’定理！”
　　就在他们以为已经难倒我时，我提醒他们：“你们刚才
说的是橘子！而你不可能把橘子皮切到比原子还薄、还碎！”
　　“但我们可以用连续性条件：我们可以一直切下去！”
　　“不，不，你刚才说的是橘子，因此我假定你说的，是
个真的橘子。”
　　因此我总是赢。如果我猜对，那最好。如果我猜错了，
我却总有办法从他们的叙述中找出漏洞。
　　其实，我也并不是随便乱猜的。我有一套方法，甚至到
了今天，当别人对我说明一些什么，而我努力要弄明白时，
我还在用这些方法：不断地举实例。
　　譬如说，那些念数学的提出一个听起来很了不得的定理，
大家都非常兴奋。当他们告诉我这个定理的各项条件时，我
便一边构思符合这些条件的情况。当他们说到数学上的“集”
时，我便想到一个球，两个不相容的集便是两个球。然后视
情况而定，球可能具有不同的颜色、长出头发或发生其他千
奇百怪的状况。最后，当他们提出那宝贝定理时，我只要想
到那跟我长满头发的绿球不吻合时，便宣布：“不对！”
　　如果我说他们的定理是对的话，他们便高兴得不得了。
但我只让他们高兴一阵，便提出我的反例来。
　　“噢，我们刚才忘了告诉你，这是豪斯道夫的第二类同
态定理。”
　　于是我说：“那么，这就太简单，太简单了！”到那时
候，虽然我压根儿不晓得豪斯道夫同态到底是些什么东西，
我也知道我猜的对不对了。虽然数学家认为他们的拓扑学定
理是反直觉的，但大多数时候我都猜对，原因在于这些定理
并不像表面看起来那么难懂。慢慢地，你便习惯那些细细分
割的古怪性质，猜测也愈来愈准了。
　　不过，虽然我经常给这批数学家找麻烦，他们却一直对
我很好。他们是一群快乐的家伙，构思理论就是他们的使命，
而且乐在其中。他们经常讨论那些“简单、琐碎”的理论；
而当你提出一个简单问题时，他们也总是尽力向你说明。
　　跟我共用浴室的就是这样的数学家，名字叫做奥伦（Paul
Olum）。我们成了好朋友，他一直想教我数学。我学到“同
伦群”（homotopy group）的程度时终于放弃了；不过在那
程度之下的东西，我都理解得相当好。
　　我始终没有学会的是“围道积分（contour integration）”。
高中物理老师贝德先生给过我一本书，我会的所有积分方法，
都是从这本书里学到的。
　　事情是这样的：一天下课之后，他叫我留下。“费曼”，
他说，“你上课时话太多了，声音又太大。我知道你觉得这
些课太沉闷，现在我给你这本书。以后你坐到后面角落去好
好读这本书，等你全弄懂了之后，我才准你讲话。”
　　于是每到上物理课时，不管老师教的是帕斯卡定律或是
别的什么，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍兹（woods）
著的这本《高等微积分学》。贝德知道我念过一点《实用微
积分》，因此他给我这本真正的大部头著作——给大学二三
年级学生念的教材。书内有傅立叶级数、贝塞尔函数、行列
式、椭圆函数——各种我前所未知的奇妙东西。
　　那本书还教你如何对积分符号内的参数求微分。后来我
发现，一般大学课程并不怎么教这个技巧，但我掌握了它的
用法，往后还一再地用到它。因此，靠着自修那本书，我做
积分的方法往往与众不同。
　　结果经常发生的是，我在麻省理工或普林斯顿的朋友被
某些积分难住，原因却是他们从学校学来的标准方法不管用。
如果那是围道积分或级数展开，他们都懂得怎么把答案找出；
现在他们却碰壁了。这时我便使出“积分符号内取微分”的
方法——这是因为我有一个与众不同的工具箱。当其他人用
光了他们的工具，还没法找到解答时，便把问题交给我了！