第四部 堂堂大教授
运气，其实不简单
在普林斯顿时，有一天我坐在休息室里，听到一些数
学家在谈论e的级数。把e展开时，你会得到1＋x＋(x2/2!)
＋(x3/3!)十……。式中每一项，来自将前一项乘以x，再
除以下一个数字。例如，要得到(x4/4!)的下一项，你可把
它乘以x和除以5。这是很简单的。
很小的时候，我就很喜欢研究级数。我用这个级数方
程式计算出e值， 亲眼看到每一个新出现的项，如何很快
地变得很小。
当时我喃喃自语，用这方程式来计算e的任何次方（
或称“幂次”）是多么容易的事。
“咦，是吗？”他们说：“那么，e的3.3次方等于多
少？”有个小鬼说——我想那是塔奇说的。
我说，“那很容易。答案是27．11。”
塔奇明白我不大可能单靠心算得到这答案的：“嘿！
你是怎么算的？”
另一个家伙说：“你们都晓得费曼，他只不过在唬人
罢了，这答案一定不对。”
他们跑去找e 值表，趁此空档我又多算了几个小数位：
“27．1126，”我说。
他们在表中找到结果了：“他居然答对了！你是怎么
算出来的？”
“我把级数一项一项计算，然后再加起来。”
“没有人能算得那样快的。你一定是刚巧知道那个答
案。e的3次方又等于多少？”
“嘿，”我说：“这是辛苦工呢！一天只能算一题！”
“哈！证明他是骗人的！”他们乐不可支。
“好吧，”我说，“答案是20．085。”
他们连忙查表，我同时又多加了几个小数位。他们全
部紧张起来了，因为我又答对了一题！
于是，眼前这些数学界的精英分子，全都想不通我是
如何计算出e的某次方！ 有人说：“他不可能真的代入数
字，一项一项地加起来的——这太困难了。其中一定有什
么诀窍。你不可能随便就算出像e的1．4次方之类的数值。”
我说：“这确是很困难，但好吧，看在你的份上，答
案是4．05。”
当他们在查e值表时，我又多给他们几个小数位，说：
“这是今天的最后一题啦！”便走出去了。
遇到个中高手
事情的真相是这样的：我碰巧知道三个数字的值——
以e为底的10的对数Loge10（用以将数字从10为底换到以e为
底），这等于2．3026；又从辐射研究（放射性物质的半衰
期等），我知道以e为底的2的对数（Loge2）等于0．69315。
因此，我也知道e的0．7次方差不多等于2。当然，我也知
道e的一次方的值，那就是2.71828。
他们要考我的第一个数字是e的3.3次方，那等于e的
2．3次方——即等于10——乘以e，即27．18。而当他们
忙着找出我所用方法的同时，我在修正我的答案，计算出
额外的0．0026，因为我原来的计算是用了较高的值，即
2.3026。
我明白这种事情可一不可再，因为刚刚不过全凭运气
而已。但这时他又说e的3次方，那就是e的2．3次方乘以
e的0．7次方，我知道那等于20再多一点点。而当他们在
忙着担心我到底是怎样计算时，我又替那0．693作修正。
做了这两题后，我确实觉得没法再多算一题了，因为
第2题也全靠运气才算出来的，但他们再提出来的数是e
的1．4次方，即e的0．7次方自乘一次，那就是4再多一点
点而已！
他们一直搞不懂我是怎样算出来的。
到了罗沙拉摩斯，我发现贝特才是这类计算的个中高
手。例如，有一次我们正把数字代入方程式里，需要计算
48的平方。正当我伸手要摇玛灿特计算机时，他说：“那
是2300。”我开始操作计算机，他说：“如果你必须要很
精确，答案是2304。”
计算机也是2304，“哗！真厉害！”我说。
“你不知道怎样计算接近50的数字的平方吗？”他说：
“你先算50的平方，即2500，再减去你要计算的数及50之
间的数差（在这例子中是2）乘以一百，于是得到2300。如
果你要更精确，取数差的平方再加上去，那就是2304了。”
几分钟之后，我们要取2．5的立方根。那时候，用计
算机算任何数字的立方根之前，我们先要从一个表里找出
第一个近似值。我打开抽屉去拿表——这次时间较多——
他说：“大约1．35。”
我在计算机上试算，错不了！“你是怎样把它算出来
的？”我问：“你是否有什么取立方根的秘诀？”
“噢，”他说：“2．5的对数是……。对数的三分之
一是1.3的对数，即……，以及1．4的对数，即多少多少之
间，我就用内插法把它求出来。”
于是我发现：第一，他能背对数表；第二，如果我像
他那样用内插法的话，所花的时间绝对要比伸手拿表和按
计算机的时间长得多。我佩服得五体投地。
从此以后，我也试着这样做。我背熟了几个数字的对
数值，也开始注意很多事情。比方有人说，“28的平方是
多少？”那么注意2的平方根是1．4，而28是1．4的20倍，
因此28的平方一定接近400的两倍，即800上下。
如果有人要知道1．73除1是多少，你可以立刻告诉他
答案是0．577，因为1．73差不多等于3的平方根，故此1/1.73
就差不多等于3的平方根再除以3，而如果要计算1/1.75呢，
它刚好是4/7，你知道1/7那有名的循环小数，于是得到
0．571428……
跟贝特一起应用各种诀窍做快速心算，真是好玩极了。
通常我想到的，他都想到，我很少能算得比他快。而如果
我算出一题的话，他就开怀大笑起来。无论什么题目，他
总是能算出来，误差差不多都在1%以内。对他而言，这简
直是轻而易举——任何数字总是接近一些他早已熟悉的数
字。
口出狂言
有一天我心情特别好，那时刚巧是午饭时间，我也不
晓得是怎么搞的，心血来潮地宣布：“任何人如果能在10
秒钟内把他的题目说完，我就能在60秒之内说出答案，误
差不超过10％！”
大家便开始把他们认为很困难的问题丢给我，例如计
算1/（1+x4）的积分等。但是事实上，在他们给我的x 范
围内，答案的变化并不太大。他们提出最困难的一题，是
找出（1＋x）20中x10的二项式系数，我刚好在时间快到时
答出。
他们全都在问我问题，我得意极了，这时奥伦刚巧从
餐厅外的走廊经过。其实，来罗沙拉摩斯之前，我们早在
普林斯顿共事过，他总是比我聪明。例如，有一天，我心
不在焉地在玩一把测量用的钢卷尺——当你按上面的一个
钮时，它会自动卷回来的那种；但卷尺的尾巴也往往会往
上反弹，打到我的手。“哇！”我叫起来，“我真呆，这
东西每次都打着我，我却还在玩这东西。”
他说：“你的握法不对，”把卷尺拿过去，尺拉出来，
按钮，卷回来，他不痛。
“哇！你怎么弄的？”我大叫。
“自己想想吧！”
接下来的两星期，我无论走到哪里，都在按这卷尺，
手背都被打得皮破血流了。终于我受不了。“奥伦！我投
降了！你究竟用什么鬼方法来握，都不会痛？”
“谁说不痛？我也痛啊！”
我觉得自己真的有够笨，竟让他骗我拿着尺打自己打
了两个札拜！
而现在奥伦刚巧经过餐厅，这些人都兴奋极了，“嘿，
奥伦！”他们喊：“费曼真行啊！我们10秒钟内说得完的
题目他就能在1分钟内给出答案，误差10%。你也来出个题
目吧！”
他差不多脚步也没停下来，说：“10的一百次方的正
切函数值。”
我被难倒了：我得用π去除一个有一百位的数字。我
没办法了！
接受挑战
有一次我夸口：“其他人必须用围道积分法来计算的
积分，我保证能用不同方法找出答案。”
于是奥伦便提出一个精彩绝伦、该死的积分给我。他
从一个他知道答案的复变函数开始，把实部拿掉，只留下
虚部，结果成为一道非用围道积分法不可的题目！他总是
让我泄气得很，是个很聪明的人。
刚到巴西时，有一次我在某家餐厅里吃午餐。我不知
道那时是几点钟了，但那里只有我一个顾客——我老是在
奇怪的时间跑去餐厅。我吃的是我很喜爱的牛排配饭，４
个服务生在旁边闲站。
一个日本人走进来。以前我就见过他在附近流浪，以
卖算盘为生。他跟服务生谈话，并提出挑战：他的加法可
以比任何人都快。
服务生怕丢面子，因此他们说：“是吗？你为什么不
去跟那边那位先生挑战？”
日本人向我走过来，我抗议：“我不大会讲葡萄牙语！”
服务生全在笑：“葡萄牙文的数字很容易！”
他们替我找来纸笔。
那人请一个服务生出一些数字让我们加。他赢太多了，
因为当我还在把数目字写下来时，他已经边听边加。
我提议服务生写下两列相同的数字，同时交给我们。
这并没有太大分别，他还是比我快很多。
他有点得意忘形，想更进一步证实他的能力。“Multiplicao！”
他说，他要比乘法。
有人写了个题目，他又赢了，但赢不多，因为我的乘
法是相当好的。
然后他犯了个错误：他建议我们继续比除法。他没意
识到，题目愈难，我赢的机会就愈大。
我们同时做了一题很长的除法题。这次我们平手。
这使得那日本人很懊恼，因为看来他曾经受过很好的
算盘训练，但现在他居然差一点就败给餐厅里的一个顾客。
“Raios cubicos！”他说，声音充满复仇气息。 立
方根！他想用算术方法求立方根值！在基础算术题目中，
大概再找不出比这更难的题目了。而在他的算盘世界中，
立方根也一定是他的拿手项目。
他在纸上写了个数字——随便写的——我还记得那数
字是1729.03。他立刻展开计算，口中念念有词，动作不断！
他已开始计算立方根了。
而我则只坐在那儿。
一个服务生说：“你在干嘛？”
我指指头，“我在想！”我说，在纸上写下12。过了一
会我已得出12．002。
日本人把额上的汗擦掉，“12！”他说。“哦，不！”
我说。“再多一些数字！再多一些数字！”我充分理解，
用一般算术方法求立方根时，找后面的数字比前面的要难
多了，这是苦工呢。
他重新埋头苦干，口中“啊咕噜么么”的不停，其间
我又多写了两个数字。最后他抬起头来说：“12．0！”
那些服务生兴奋极了，他们跟日本人说：“瞧，他光
想想就行了，你却要用算盘！而且他多算出些数字！”
他溃不成军，垂头丧气地走了，服务生则大肆庆祝。
这个顾客是如何打赢算盘的？题目是1729．03。我刚
巧知道一立方英尺有1728立方英寸，因此答案必定是12多
一点点。多出来的1．03呢，大约是二千分之一， 而我在
微积分课里学过，就小分数而言，立方根超出的部分是数
字超出部分的三分之一，因此我只需要算1/1728是多少，
再乘以4（即除3再乘12）。这是为什么我一下就能算出那
么多小数位。
有头脑才有运气
几星期后，那个日本人跑到我下榻的旅馆会客厅里。
他认得我，跑过来说：“告诉我，你怎么能那么快就把立
方根算出来？”
我告诉他这是个求近似值的方法，跟误差有关，“比
方你说28。那么，27的立方根是3……”
他拿起算盘：哒哒哒哒——“噢！是的。”他说。
我发现：他根本不懂得怎样处理数字。有了算盘，你
不必记诵一大堆的算术组合；你只需要知道怎样把小珠子
推上拨下。你根本不必知道9加7等于16，而只需要记住加
9时，要推一颗十位数的珠子上去， 拨一颗个位数的下来
便好了。也许我们算得较慢，但我们才真正懂得数字的奥
妙。
此外，他根本无法理解求近似值方法所包含的道理，
他不明白在很多情况下，任何方法都求不出完整的立方根，
但可以求近似值。因此我永远无法教会他我求立方根的方
法，甚至让他明白那天我有多幸运，因为他刚好挑了个像
1729．03这样的数字！
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